Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Логические задачи на сообразительность

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Национальная и государственная безопасность" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Декабрь 2001   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Игорь Игоревич Хохлов

Статистика

14.961 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Логические задачи на сообразительность - Новый Год


Служба Рассылок Subscribe.Ru 
Прошу вас присылать головоломки и задачи. Наиболее интересные появятся
в рассылке вместе с авторской ссылкой. Также можно присылать ответы на задачи.
----------------------------------------------------------

                Здравствуйте!

 Поздравляю вас с Новым Годом! Желаю здоровья, любви и счастья!
 До встречи в новом году! Оставайтесь с нами!


                Ответы на задачи

3. Дана сумма: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... + 1/17 + ...
Показать, что если мы вычеркнем все слагаемые, содержащие в знаменателе 7 (1/7,
1/17, 1/27),
то сумма сходится.

Решение. Разобьем последовательность следующим образом:
в первой группе с 1 по 10 член,
 во второй с 11 по 100
 в третьей со 101 по 1000
 .....
 в x       со 10^(x-1)+1 по 10^x
 Оценим сверху сумму членов последовательности в каждой из групп:
  1+1/2+1/3+...1/10<1+1+1+...+1=10
 1/11+1/12+...+1/99+1/100<1/11*90<1/10*100=10
 ...
 1/(10^(x-1)+1)+...1/10^x<1/(10^(x-1)+1)*(10^x-10^(x-1))<1/10^(x-1)*10^x=10
 Количество чисел без 7 из всех чисел состоящих из x и менее знаков (то есть
 меньших 10^x) равно 9^x (так как цифр для составления таких чисел
 остается только девять, то и получаем число всевозможных сочетаний 9
 цифр на x позициях - 9^x).
 Количество чисел без 7 из всех чисел состоящих ровно из x знаков
 равно 9^x-9^(x-1)
 А всего количество чисел состоящих ровно из х знаков равно
 10^x-10^(x-1)
 Значит сумма первой группы без членов с семеркой в знаменателе меньше
 10*(9^1-9^0)/(10^1-10^0)=10*8/9*(9/10)^0
 во второй
 10*(9^2-9^1)/(10^2-10^1)=10*8/9*(9/10)^1
 ...
 в x
 10*(9^x-9^(x-1))/(10^x-10^(x-1))=10*8/9*(9/10)^(x-1)
 Для оценки сверху искомой последовательности получили убывающую
 геометрическую последовательность. Следовательно и исходная
 последовательность сходится.


4. Дан треугольник со сторонами a, b и c. Какова вероятность, что c > (a+b)/2
?

Ответ. 4/9.


6. Существует ли такое число вида 19191919....1919, чтобы оно делилось на 97?

Существует 1919191919*100+19


                .... прошлого выпуска

1. Есть два шнура и зажигалка. Про шнуры известно только то, что горят они ровно
четыре минуты, каждый. Как с помощью этого инвентаря отмерить три минуты? (Алексей)

Решение. Поджигаем один шнур с двух сторон, второй - только с одной.
1-й догорел (прошло 2 минуты). Поджигаем 2-й шнур с другой стороны.
2-й шнур догорел (1 минута).


2. Два тома (книги) стоят на полке один за другим. Червяк сидит между обложкой
и первой страницей первого тома. В каждой книге по 450 страниц. Червяк может
прогрызть обложку за 2 дня, а каждую страницу - за 1/2 дня. Сколько времени ему
потребуется чтобы попасть на последнюю страницу второго тома?

Ответ. 4 дня: 2 дня, чтобы прогрызть переднюю обложку 1-го тома и 2 дня,
чтобы прогрызть заднюю обложку второго тома (т.к. лицевая обложка тома 1
непосредственно соприкасается с задней обложкой тома 2).


3. Может ли число, чьи цифры - 0, 1, 2 (каждая цифра появляется ровно 100 раз),
быть квадратом какого-либо числа?

Ответ. Нет, так как сумма всех цифр этого числа равно 300. А 300 делится на
3, но не делится на 9 - квадрат тройки.


4. Решите уравнение (желательно в уме). 4x^2 + 4x + 3=Cos(y) + Cos(3y)

Решение. Записываем левую часть как (2х+1)^2+2 -> x=-0.5, а y=2*Pi*k,
k=..., -1, 0, 1, 2, 3, ...


5. Петя и Вася играют в игру. Они начинают с цифры 2. Каждый ход делается так:
можно добавлять любое натуральное число, которое меньше а (в начале а=2). Кто
первым получит число 1000 - тот и выиграл. Кто выиграет, если известно, что
Петя ходит первым? В том смысле, что он обязательно выиграет, если будет правильно
играть.

Ответ. Петя. Он должен сказать число 1000 - a.
Перед этим - (1000 - a) - a  = 1000 - 2a.
И так далее.
1000 - na = 2    (a = 2, n = 499)


6. Те же условия, что и в пятой задаче, только можно вычитать любое натуральное
число вида 2^p (p=0,1,...), которое меньше заданного числа (начинают с 1000).
Побеждает тот, кто первым получит 0. Кто выиграет?

Решение. Аналогичное рассуждение. Выигрывает Петя.



Новые задачи будут в следующем году. ОТДЫХАЙТЕ!


Спасибо всем авторам и читателям, которые присылают свои предложения,
задачи и ответы для рассылки!


На сегодня это все,
Евгений (logicpuzzles@pochtamt.ru)
"МАГ" - математическая гимнастика (http://mat-game.narod.ru)
http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru 		Отписаться
Убрать рекламу
В избранное