Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Логические задачи на сообразительность

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Национальная и государственная безопасность" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Май 2001   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Игорь Игоревич Хохлов

Статистика

14.961 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Логические задачи на сообразительность - 8 мая 2001 года


Служба Рассылок Subscribe.Ru проекта Citycat.Ru 
Прошу вас присылать головоломки и задачи. Наиболее интересные появятся
в рассылке вместе с авторской ссылкой. Также можно присылать ответы на задачи.
----------------------------------------------------------

Здравствуйте!

Поздравляю вас с Днем Победы!

                        Сайт рассылки
Напоминаю, что недавно открылся сайт моей рассылки "МАГ" - математическая гимнастика
                http://mat-game.narod.ru
Там вы можете найти новые задачи, которых еще не было в рассылке,
пообщаться на форуме или оставить сообщение в гостевой книге.
Задачи обновляются регулярно в начале недели.


                        Ответы
Самым первым ответы прислал Гоша (Павлодар, Казахстан).
Далее ответы присылали: Игорь Волков (из адреса похоже, что из Канады),
Peter B. Mozhaev, Oleg Favelukis, Дмитрий, Dmitry Filonov (Medford, MA), Julia
Keba,
Sergey Pereslavcev, Пилюгин Андрей.

                Ответы на некоторые задачи из позапрошлого выпуска
1. Докажите, что для любого целого a>0 найдется такое простое p, что сумма
1 + a + a^2 + a^3 + ... + a^(p-1) является составным числом.

Решение. Скорее всего в условии должно быть a>1.
В противном случае сумма остается простым числом.
1) Случай а=2 рассмотрим отдельно; при р=11 получается составное число.
2) При а>=3: (a-1)>=2, т.е. является либо простым, либо составным числом.
Пусть к - какой-нибудь простой делитель числа (а-1). В таком случае сумма
S=(1 + a + a^2 + a^3.... + a^(k-1)) - составное число.
(ведь 1, а, а^2, a^3.... a^n... все дают при делении на к остаток 1, а в
данном выражении ровно к членов. Значит S делится на к. И т.к. к<a то к<S,
следовательно S - составное число).

5. Баше де Мезирак
Каким наименьшим числом гирь и какого веса можно отвесить на весах любое
целое число фунтов от 1 до 40 при условии, что при взвешивании гири можно
класть на обе чаши весов?

Ответ: 4 (1, 3, 9, 27).
Решение: 1 - очевидно. 1 уже есть, через него можно получить Х-1, Х, Х+1, где
Х -
следующая гиря. Значит Х=3. и получам возможность выражения любого числа от
1 до 4
(1-4) есть, следущая "партия" от Х-4 до Х+4 => Х=9 => возможность выражения
от 1 до 13. Также получаем 27.

7. При каком наибольшем n по кругу можно расставить n различных чисел так,
чтобы каждое из них равнялось произведению двух соседних? (олимпиадная)

Решение. Записываем ряд ..a b.., продвигаясь попеременно вправо и влево
дописываем новые числа ряда (чтобы удовлетворяли условию), пока ряд не
замкнется, т.е. на концах будут одинаковые числа(при любых а и b).
Т.о. мы найдем максимальное возможное количество чисел в таком круге.
Затем проверяем поочередно проверяем все возможные варианты до
найденного числа. Путем несложных рассуждений доказываем при каком
кол-ве чисел в круге это возможно.
1 число - a
2 число - a*b
3 число - b
4 число - 1/a
5 число - 1/(a*b)
6 число - 1/b
Ответ: 6 чисел.


                Ответы на задачи прошлого выпуска
1. После рыбалки два рыбака решили сварить уху. Один выделил для этого 5 рыб,
а второй - 3. Когда уха была готова, к ним подошел прохожий и попросил
разрешения позавтракать вместе с ними. Рыболовы согласились и разделили
всю рыбу на три равные порции. После завтрака прохожий уплатил рыболовам 8 рублей.
Как рыболовы должны разделить между собой эти деньги?

Ответ. 7 руб. и 1 руб. Прохожий уплатил 8 руб. за третью часть завтрака.
Поэтому весь завтрак стоил 24 руб., а одна рыбка - 3 руб. Рыба первого рыболова
стоила 15 руб., а второго - 9 руб. Вычтя стоимость завтрака 8 руб., получаем
7 руб. и 1 руб.

2. Пассажир занял место в вагоне скорого поезда.
Скучая, он начал проводить следующие вычисления:
1) номер своего места он разделил на номер вагона,
2) номер места умножил на номер вагона,
3) к номеру места прибавил номер вагона,
4) от номера места отнял номер вагона.
Сложив результаты произведенных четырех арифметических действий,
получил в итоге 384. Определить номер места и номер вагона пассажира.

Ответ.  вагон   место
        1       96
        3       72
        7       42

3. Инженер ежедневно приезжает поездом на вокзал в 8 часов утра. Точно в 8 часов
к вокзалу подъезжает автомобиль и отвозит инженера на завод. Однажды инженер
приехал на вокзал в 7 часов и пошел навстречу машине. Встретив машину, он сел
в нее и приехал на завод на 20 мин раньше обычного. В какое время произошла
встреча
инженера с машиной?

Решение. По сравнению с обычным рейсом машина не проехала на этот раз расстояние
от места встречи с инженером до вокзала и обратно - от вокзала до места встречи,
сэкономив при этом 20 минут. Значит, место встречи находилось в 10 минутах езды
от вокзала, куда машина должна была прибыть в 8 часов.
Поэтому встреча произошла в 7 ч 50 мин.

4. Двое туристов одновременно вышли из пункта А и пошли в пункт В.
Первый турист половину времени, затраченного им на переход,
шел со скоростью 5 км/ч, а затем пошел со скоростью 4 км/ч.
Второй же первую половину пути прошел по 4 км/ч, а затем пошел по 5 км/ч.
Кто из них раньше пришел в пункт B?

Решение. Раньше в пункт В пришел первый турист, так как он больше половины пути
прошел со скоростью 5 км/ч.

5. Если человек идет на работу пешком, а обратно едет на транспорте, то всего
на
дорогу затрачивает полтора часа. Если же в оба конца он едет на транспорте,
то весь путь занимает у него 30 минут. Сколько времени затратит человек на дорогу,
если на работу и обратно он пойдет пешком?

Решение. Если человек дважды проделает путь на работу и обратно,
то затратит 3 часа. Пользуясь транспортом, он тратит на это 30 минут.
Поэтому пешком он может добраться до работы и вернуться назад за 3 ч - 1/2 ч
= 2 1/2 ч.

6. Математический софизм. 4 руб. = 40000 коп.
Возьмем верное равенство 2 руб. = 200 коп. и возведем его по частям в квадрат.
Получится
4 руб. = 40000 коп. В чем ошибка?

Ответ (прислал Dmitry Filonov). 4 руб квадрат = 40000 коп квадрат.
Вот только кто такой руб квадрат ???


                Новые (праздничные) задачи
1. Число 666 требуется увеличить в полтора раза, не производя над этим числом
никаких арифметических действий. Как это сделать?

2. Как разделить 188 пополам так, чтобы в результате получилась единица?

3. Может ли сектор круга быть сегментом?

4. Один пятиклассник написал о себе так: "Пальцев у меня двадцать пять на одной
руке,
столько же на другой, да на обеих ногах 10". Как это так?

5. Представьте себе, что вы - машинист паровоза, ведущего пассажирский состав
со станции Киров
в Москву. Всего в составе поезда 13 вагонов. Обслуживается поезд бригадой в
30 человек.
Начальнику поезда 46 лет. Кочегар на 3 года старше машиниста. Сколько лет машинисту
паровоза?

6. Прислал Konstantin Tretyakov.
Пусть множество А={1/2; 1/3; 1/4; 1/5; ...... 1/2000; 1/2001}
Требуется найти сумму всех возможных произведений по 2, по 4, по 6... по 2000
элементов данного множества.

7. Задача из математической викторины.
Кто предложил использовать запятую, как математический знак?

Спасибо всем авторам и читателям, которые присылают свои предложения, задачи
и ответы для рассылки!


На сегодня это все,
Евгений (logicpuzzles@pochtamt.ru)
"МАГ" - математическая гимнастика (http://mat-game.narod.ru)
http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru
В избранное