Орлов А.И., научный руководитель работы, главный научный сотрудник Межвузовского центра экономического образования, доктор технических наук, профессор (введение, разделы 1-5, заключение)
   В.Н.Жихарев, ст. преподаватель МГИЭМ(ту) (введение, разделы 4,5)
   Иванова Н.Ю., директор Межвузовского центра экономического образования, кандидат экономических наук, профессор МГИЭМ(ту) (раздел 5)
   Цупин В.А., доцент МГИЭМ(ту), кандидат физико-математических наук (введение, разделы 4,5)
   Нечаева Е.Г., аспирантка МГИЭМ(ту), заведующая сектором Центра исследований и статистики науки ГКНТ и РАН (введение)
   Иванова И.Г., студентка МГИЭМ (ту) (раздел 5)
   Меньшикова Е.В., студентка МГИЭМ (ту) (раздел 5)
   Светлов С.Н., студент-дипломник МГИЭМ (ту) (раздел 5)
   Точенная Н.С., студентка МГИЭМ (ту) (раздел 5)

   Цель работы - разработка, изучение и применение новых эконометрических методов статистического анализа конкретных экономических данных.

   Во введении рассказывается о работе Лаборатории эконометрических исследований МГИЭМ(ту) в 1996 г. В главе 1 обсуждаются современные взгляды на структуру и содержание эконометрики как научно-практической дисциплины. Глава 2 посвящена некоторым вопросам статистики объектов нечисловой природы. В ней изучается асимптотическое поведение непараметрических ядерных оценок плотности распределения вероятностей в пространствах произвольной природы, в том числе в дискретных пространствах. В главе 3 рассматриваются процедуры согласования выводов, полученных с помощью различных обобщенных показателей качества. В главе 4 идет речь о теории и практике экспертных оценок, прежде всего применительно к экологическому страхованию. В главе 5 кратко рассматриваются четыре прикладных эконометрических исследования - по инфляции, налогообложению, оценке рисков проектов и малому предпринимательству. В заключении подводятся итоги работы и обсуждаются направления дальнейших исследований.

   Введение
   Раздел 1. Современная эконометрика
   1.1. Эконометрика = экономика + метрика
   1.2. Структура эконометрики
   1.3. Специфика экономических данных
   1.4. Эконометрические модели
   1.5. Применения эконометрических методов
   1.6. Эконометрические методы в практической и учебной деятельности
   Раздел 2. Ядерные оценки плотности в пространствах произвольной природы (исключена)
   Раздел 3. О согласовании ранжировок и классификаций
   3.1. Взвешенные агрегированные показатели
   3.2. Согласование упорядочений по агрегированным показателям
   3.3. Теорема о структуре замыкания
   3.4. О развитии методики агрегирования
   3.5. О согласовании классификаций
   Раздел 4. Экспертные оценки: состояние и перспективы использования в задачах экологического страхования
   4.1. Экспертные исследования
   4.2. Математика экспертных оценок
   4.3. Перспективы автоматизации экспертных оценок
   4.4. Перспективы использования экспертных оценок в экологическом страховании
   Раздел 5. Прикладные эконометрические исследования
   5.1. Расчет, прогнозирование и применение индексов инфляции, полученных на основе независимой информации
   5.2. Методология оценки рисков реализации инновационных проектов
   5.3. Подходы к математическому моделированию процессов налогообложения в России
   5.4. Математическое моделирование развития популяции малых предприятий
   Заключение
   Список использованных источников

   В рамках Российской ассоциации по статистическим методам выработан современный подход к содержанию и структуре эконометрики (он обсуждался на Второй научно-практической конференции "Проблемы современной эконометрии", Москва, апрель 1996 г.). Этот подход позволяет упорядочить наш более чем 25-летний опыт теоретических и прикладных научных исследований в области эконометрики.

   В Лаборатории эконометрических исследований МГИЭМ(ту) впервые в России работы по эконометрике поставлены на современный уровень. Разработаны и изучены новые эконометрические методы, в том числе методы анализа нечисловых данных в социально-экономических исследованиях (в этой области эконометрики имеем приоритет на мировом уровне). Основное направление работ - дальнейшее развитие теоретических разделов эконометрики, прежде всего связанных с анализом нечисловых данных, с целью получения практических рекомендаций, предназначенных для использования в ходе выполнения прикладных исследований.

   Получен ряд новых теоретических результатов, отраженных в опубликованных в 1996 г. статьях [4, 8-10, 12, 28-36, 38], посвященных асимптотическому поведению решений экстремальных статистических задач [35], сравнению метода максимального правдоподобия и метода моментов с позиций интервальной статистики [30], проблемам множественных проверок статистических гипотез [33], экспертным оценкам [4,28,38], математическому обеспечению сертификации (сравнительному анализу диалоговых систем по статистическому контролю [34]), расчету индексов инфляции и их прогнозированию [8], эконометрическому анализу данных о кадрах науки России [12, 29]. Проведен методологический анализ современного состояния эконометрики и прикладной статистики, изучен ряд конкретных вопросов статистической теории (ядерные оценки плотности в пространствах произвольной природы, целесообразность разбиения выборки, критерии согласия с параметрическим семейством распределений, оценивание параметров гамма-распределения) и применения эконометрических методов (статистические методы в задачах сертификация продукции, методы микроагрегирования и их применение для защиты конфиденциальных данных, методология экономико-математического моделирования в маркетинге малого бизнеса). Новые постановки разрабатываются также в рамках выполнения прикладных исследований, проводимых Лабораторией эконометрических исследований МГИЭМ(ту).

   Теоретические исследования в эконометрике нечисловых данных позволяют получить новые результаты в той центральной области эконометрики, в которой отечественные работы имеют приоритет на мировом уровне. Развитие эконометрики как части экономической науки (с использованием современного математического аппарата) позволяет накопить научный и методический потенциал для выполнения прикладных исследований, в частности, работ Лаборатории эконометрических исследований МГИЭМ по анализу и прогнозированию индекса инфляции, разработке АРМ "Математика в экспертизе", математическому моделированию процессов налогообложения, социологическим опросам, оценке рисков в связи с осуществлением инновационных проектов, с химической безопасностью биосферы (проект No. 317 "Разработка методологического, программного и информационного обеспечения анализа риска химико-технологических объектов" Международного научно-технического центра (начало - октябрь 1996 г.)). Разрабатываемое нами методологическое, математическое, методическое и программное обеспечение по социально-экономическим исследованиям (экспертным, маркетинговым, социологическим, прогнозным и др.) позволит проводить подобные исследования на современном уровне.

   В 1996 г. результаты, полученные нами в области изучения динамики цен и индекса инфляции, применения метода сценариев стали доступны широкой общественности (публикации в газетах "Правда"[10], "Советская Россия"[38] и журнале "Диалог"[32]).

   В 1996 г. по рассматриваемой теме опубликовано 11 и сдано в печать 10 статей, представлено 3 доклада на международные и 9 - на российские конференции, выполнялась 1 диссертационная работа, защищено 4 и выполняется 3 дипломные работы. В частности, на Восьмом международном интердисциплинарном симпозиуме "Методология математического моделирования" (Варна, Болгария, 7-12 июня 1996 г.) доложено о методологии математического моделирования в маркетинге малого бизнеса, на межреспубликанском совещании по интервальному анализу (Новосибирск (Академгородок), 24-25 сентября) - о развитии интервальной статистики. Об эконометрических методах анализа нечисловых данных рассказано на Втором сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 25-30 июня 1996 г.), об эконометрических исследованиях - на Третьей Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Туапсе, 17-24 сентября 1996 г.), о работах по теории и практике экспертных оценок - на всероссийском семинаре "Экспертные оценки и анализ данных" (Москва, ИПУ, 17 апреля 1996 г.).

   Налаживаются контакты с научно-практическим семинаром "Аналитика в государственных учреждениях" (Главное Программно-аналитическое управление Администрации Президента РФ, руководители - д.т.н. А.Н.Райков, к.т.н. Г.А.Сатаров, к.ф.-м.н. Д.С.Шмерлинг). На нем 25 апреля 1996 г. сделан доклад "Ранжировки и рейтинги в социально-политических исследованиях", повторенный затем на совещании-семинаре "Проблемы информационной и аналитической поддержки деятельности органов государственной власти субъектов Российской Федерации" (Москва, Российская академия государственной службы, 21-22 мая 1996 г.).

   Нами организованы две научно-практические конференции: "Математические методы прогнозирования экономических трендов и индекса инфляции" (14 февраля 1996 г.); и вторая научно-практическая конференция "Проблемы современной эконометрии" (17 апреля 1996 г., Москва), на которой начата работа по созданию Российской академии статистических методов, выбрано 8 действительных членов, в том числе из МГИЭМ(ту) - А.И.Орлов, В.М.Четвериков, Е.Р.Хакимуллин.

   Много внимания уделялось в 1996 г. вопросам образования (опубликована статья в в международной газете "Наука и технология в России"[9], представлен доклад на Международную конференцию по преподаванию статистики (Санкт-Петербург, 3-5 июля 1996 г.)), многие положения которого вошли в принятые на конференции решения. Результаты работы использовались в 1996 г. в учебном процессе в курсах "Статистика","Экономико-математическое моделирование", "Макроэкономика" (МГИЭМ), "Математическая экономика" (УВК No.1840). Разработана программа по курсу "Статистика" для Международного Центра Дистанционного Обучения "ЛИНК" - российского партнера Школы Бизнеса Открытого университета Великобритании. Опубликована программа курса "Математическая экономика"[31].

   Виды возможной реализации (продажи) результатов работы - оказание научно-технических услуг, подготовка методических материалов, разработка программных продуктов, выполнение НИР по заказам. Полученные в ходе выполнения темы результаты предназначены для применения в различных научно-исследовательских и информационно-аналитических центрах и подразделениях организаций и предприятий, органов государственного управления, профсоюзов и других общественных организаций.

    В разделе 1 настоящего отчета обсуждаются современные взгляды на структуру и содержание эконометрики как научно-практической дисциплины. Раздел 2 посвящен некоторым вопросам статистики объектов нечисловой природы. В разделе 3 рассматриваются процедуры согласования выводов, полученных с помощью различных обобщенных показателей качества. В разделе 4 идет речь о теории и практике экспертных оценок. В разделе 5 рассматриваются четыре прикладных направления исследований, основанных на применении эконометрических методов и математического моделирования.

   Обсуждается современное состояние эконометрики как научно-практической дисциплины.

   Внутри экономической теории обычно выделяют макроэкономику, микроэкономику и эконометрику. "Статистический анализ экономических данных называется эконометрикой, что буквально означает: наука об экономических измерениях" [5, с.25 ].

   Действительно, термин "эконометрика состоит из двух частей: "эконо-" - от "экономика" и "-метрика" - от "измерение". Эконометрика входит в обширное семейство дисциплин, посвященных измерениям в различных областях науки. К этому семейству относятся, в частности, биометрика (или биометрия), технометрика, наукометрия, психометрика, хемометрика (наука об измерениях и применении статистических методов в химии). Особняком стоит социометрия - этот термин закрепился за статистическим методом анализа взаимоотношений в малых группах, т.е. за малой частью такой дисциплины, как статистический анализ в социологии. Эконометрика, как и другие "метрики", посвящена развитию и применению статистических методов в конкретной области науки и практики - в экономике.

   В мировой науке эконометрика занимает достойное место. Об этом свидетельствует то, что Нобелевские премии по экономике получили эконометрики Ян Тильберген, Рагнар Фриш, Лоуренс Клейн, Трюгве Хаавельмо. Однако в нашей стране по ряду причин, часть которых обсуждалась нами ранее [20] в связи с современным состоянием статистики в целом, эконометрика не была сформирована как самостоятельное направление научной и практической деятельности.

   В настоящее время в России развертываются эконометрические исследования, начинается преподавание этой дисциплины. Поэтому необходимо обсудить современную палитру эконометрических методов.

   Это представляется тем более своевременным, что положение в области научных и практических работ и особенно преподавания эконометрики является неблагополучным. Мы вынуждены констатировать, что отдельные профаны, берущиеся за преподавание эконометрики, выдают за нее отдельные частные построения. В результате студенты-экономисты лишаются знаний о подлинной эконометрике и ее возможностях.

   В эконометрике, как дисциплине на стыке экономики и статистического анализа, естественно выделить три вида научной и прикладной деятельности:

   а) разработка методов прикладной статистики с учетом специфики экономических данных;

   б) разработка эконометрических моделей в соответствии с конкретными потребностями экономической науки и практики;

   в) применение эконометрических методов для статистического анализа конкретных экономических данных.

   В отечественной литературе и учебных планах вузов на стыке экономики и статистики встречается также дисциплина "экономическая статистика". Чем она отличается от эконометрики? Тем, что отечественная статистика расколота [20], эконометрику породила ветвь, идущая от прикладной математической статистики, а экономическую статистику - ветвь, идущая от Госкомстата.

   Для анализа экономичесих данных могут применяться все разделы прикладной статистики, а именно:

   - статистика случайных величин;

   - многомерный статистический анализ;

   - статистика временных рядов и случайных процессов;

   - статистика объектов нечисловой природы [18,21,23,25], в том числе статистика интервальных данных [22,30].

   Как и для применений статистики в иных областях, решаются задачи описания данных, оценивания, проверки гипотез, восстановления зависимостей, классификации объектов и признаков и др.

   Однако в некоторых отношениях экономические данные отличаются от технических или астрономических.

   Многие экономические показатели неотрицательны. Значит, их надо описывать неотрицательными случайными величинами, например, имеющими логарифмически нормальное распределение или распределение Парето. Нормальные распределения принципиально не подходят, поскольку для них вероятность отрицательных значений всегда положительна.

   Экономические процессы развиваются во времени, поэтому большое место в эконометрике занимают вопросы анализа и прогнозирования временных рядов, в том числе многомерных. При этом в одних задачах больше внимания уделяют изучению трендов, например, при анализе динамики цен. В других же - важны отклонения от средней тенденции, например, при применении контрольных карт для статистического регулирования процессов и обнаружения изменения характеристик. Однако в целом спектральный анализ и выделение различных типов волн менее распространены, чем, скажем, в биометрике.

   В экономике доля нечисловых данных существенно выше, чем в технике и технологии, соответственно больше применений для статистики объектов нечисловой природы [18,21-23,25,30].

   Количество изучаемых объектов в экономическом исследовании часто ограничено в принципе, поэтому обоснование вероятностных моделей в ряде случаев затруднено. Уникальные объекты, например, город Москва, не всегда целесообразно рассматривать как элемент выборки из генеральной совокупности с каким-то определенным распределением. Поэтому в эконометрике часто применяются детерминированные методы анализа данных, в отличие от, например, технических наук, в которых обычным является использование вероятностных моделей.

   Есть два подхода к изучению поведения людей. Согласно первому из них вполне допустимо описывать действия человека в вероятностных терминах, например, считать его ответ на заданный вопрос случайной величиной. Сторонники второго подхода полагают, что поведение человека является детерминированным, определяется теми или иными причинами, а случайность при анализе выборки возникает лишь из-за случайности при отборе лиц для опроса. Если ответ на вопрос имеет вид "да"-"нет", то число ответов "да" имеет при первом подходе биномиальное распределение, а при втором - гипергеометрическое. К счастью, при увеличении объема генеральной совокупности эти два распределения сближаются, так что при обоих подходах можно применять одни и те же эконометрические методы, не тратя сил на решение философского вопроса о детерминированности или случайности поведения человека.

   Итак, специфика эконометрики проявляется не в перечне статистических методов, а в частоте их использования. Таково же положение и в иных областях применения статистических методов. При этом частота использования тех или иных алгоритмов зависит также и от сложившихся в прикладной области традиций.

   Статистические модели экономических явлений и процессов определяются спецификой той или иной области экономических исследований. Так, в экономике качества статистические методы сертификации и управления качеством [26,34] - статистический контроль, контрольные карты, планирование эксперимента, оценка и контроль надежности и другие - используют как технические, так и экономические характеристики, а потому относятся к эконометрике, равно как и многие модели теории массового обслуживания (теории очередей).

   Экспертные оценки используют для решения ряда экономических задач, например, выбора оптимального направления инвестиций, или наилучшего образца определенного вида продукции для организации массового выпуска, или при прогнозировании развития экономической ситуации. Следовательно, используемые в теории экспертных оценок модели [24,28] являются эконометрическими.

   Менее полезными практически, но более известными в теоретических и учебных публикациях являются эконометрические модели, предназначенные для прогнозирования макроэкономических показателей. Это модели прогнозирования многомерного временного ряда, в которых оценивают как структуру модели, т.е. вид зависимости между значениями известных координат вектора в прежние моменты времени и их значениями в прогнозируемый момент, так и коэффициенты, входящие в эту зависимость. Структура такой модели - объект нечисловой природы, что и объясняет сложность соответствующей теории.

   Каждой области экономических исследований, связанной с анализом эмпирических данных, как правило, соответствуют свои эконометрические модели.

   Эконометрика не так сильно оторвалась от реальных задач, как математическая статистика, специалисты в области которой зачастую ограничиваются доказательством теорем, не утруждая себя вопросом о том, для чего эти теоремы могут быть нужны [20]. Поэтому эконометрические модели обычно доводятся "до числа", т.е. применяются для обработки конкретных эмпирических данных.

   Эконометрические методы нужны для оценки параметров экономико-математических моделей, например, моделей управления запасами [16].

   В международной газете "Наука и технология в России" в 1995-96 гг. опубликован ряд материалов, посвященных индексу инфляции, в частности, в рубрике "Зеркало экономики" (см., например, [8]). Все они, очевидно, относятся к эконометрике.

   Бесспорно совершенно, что практически любая область экономики имеет дело со статистическим анализом эмпирических данных, а потому включает те или иные эконометрические методы в свой инструментарий. Например, направлениям применения этих методов для анализа научного потенциала России посвящена статья [13].

   Компьютер на рабочем месте экономиста - уже реальность. Практическое применение эконометрических методов осуществляется с помощью диалоговых систем, соответствующих решаемым экономическим задачам. Для конкретных наборов задач таких систем разработано уже много, некоторые перечислены в статье [26].

   Однако для того, чтобы грамотно применять компьютерную систему, надо иметь некоторые предварительные знания по эконометрике. В отсутствии подобных знаний у подавляющего большинства российских экономистов - основная проблема.

   Поэтому надо широко преподавать эконометрику. Но не следует сосредотачиваться лишь на подготовке специалистов по разработке эконометрических методов, умеющих доказывать теоремы и писать программы. Нужны пользователи, понимающие, для решения каких задач годится тот или иной эконометрический метод, какая нужна исходная информация, как интерпретировать выдаваемые компьютером результаты.

   Эконометрические методы - инструмент в работе экономиста, занимающегося конкретными проблемами, и задача высшей школы - дать его в руки выпускников экономических специальностей.

Раздел 2.

   В нашей стране с середины 70-х годов активно разрабатываются методы статистического анализа нечисловых данных  [18,21,23,25], поскольку развитие прикладных исследований привело к необходимости рассмотрения в качестве статистических данных различных объектов нечисловой природы - элементов пространств, не являющихся линейными (векторными). Примерами являются бинарные отношения (ранжировки, разбиения, толерантности и т.д.); множества; нечеткие множества; реэультаты измерений в шкалах, отличных от абсолютной; как обобщение перечисленных объектов - элементы пространств общей природы. Для нечисловых результатов наблюдений рассматривают [18,21] классические задачи статистики: описание данных (включая классификацию), оценивание (параметров, характеристик, плотности распределения, регрессионной зависимости и т.д.), проверку гипотез.

   Математический аппарат статистики объектов нечисловой природы основан не на свойстве линейности пространства, а на применении симметрик и метрик в нем, поэтому существенно отличается от классического.

   В статистике нечисловых данных выделяют [18,21] общую теорию и статистику в конкретных пространствах нечисловой природы (например, статистику ранжировок). В общей теории есть два основных сюжета. Один связан со средними величинами и асимптотическим поведением решений экстремальных статистических задач, второй - с непараметрическими оценками плотности. Именно ему посвящен настоящий раздел отчета.

   При использовании нескольких обобщенных показателей, например, среднего арифметического единичных показателей (или оценок экспертов) и медианы тех же показателей, получаются, как правило, различающиеся ранжировки объектов. Как их согласовать с целью дальнейшего использования при классификации, т.е. при разбиении объектов на группы по степени выраженности интересующего исследователя качества? В главе 3 предлагаются и обосновываются методы решения этой задачи.

   Пусть Х₁, Х₂,..., Х_К - частные (или групповые) числовые показатели. Каждому из них приписан вес - А₁, А₂, ..., А_К соответственно, отражающий их относительную важность (оцененную экспертами или иным способом). Весовые коэффициенты неотрицательны и в сумме составляют 1.

   Взвешенные агрегированные показатели можно определить следующим единообразным способом.

   Введем (чисто формально) распределение вероятностей, приписывающее каждому значению Х_М, М=1,2,...,К, вероятность А_М. Для этого распределения обычным образом определим такие характеристики, как математическое ожидание, медиана, начальные моменты, мода и т.д., которые и будем использовать в качестве взвешенных агрегированных показателей или при их расчете.

   При этом математическое ожидание дает взвешенное среднее арифметическое, медиана - взвешенную медиану (в частном случае, когда одна из ступенек функции распределения приходится на высоту 0,5, целесообразно ввести понятия левой и правой медиан - т.е. левого и правого концов указанной ступеньки соответственно).

   Начальный момент р-го порядка после извлечения корня р-ой степени дает взвешенное степенное. Аналогичным образом получаем обобщенное среднее по Колмогорову общего вида.

   Мода указывает на значение наиболее важного показателя.

   В соответствии с методологией устойчивости [16] при анализе конкретной ситуации целесообразно одновременно использовать несколько обобшенных показателей, например, взвешенную медиане и взвешенное среднее арифметическое.

   Сопоставим упорядочения объектов по двум видам агрегированных оценок, например, по взвешенной медиане и по взвешенному среднему арифметическому. Для этого построим "квазитолерантность расхождений (КТР)", т.е. некоторое бинарное отношение [47] на множестве объектов. (Как известно, бинарное отношение на данном множестве объектов можно отождествить с подмножеством множества пар объектов, т.е. с подмножеством декартова квадрата исходного множества объектов.)

   По определению два объекта связаны отношением КТР (т.е. пара объектов входит в рассматриваемое подмножество) тогда и только тогда, когда два упорядочения - по взвешенной медиане и по взвешенному среднему арифметическому - для них противоречивы. Это возможно в двух случаях. Первый - средний взвешенный арифметический показателей для первого (из двух рассматриваемых) объектов больше (или равен) такового для второго объекта, а взвешенная медиана для первого, наоборот, меньше, чем для второго. Второй - средний взвешенный арифметический показателей для первого (из двух рассматриваемых) объектов меньше такового для второго вида, а взвешенная медиана для первого, наоборот, больше (или равна), чем для второго.

   Отношение КТР является симметричным (если пара (А,В) входит в него, то входит и пара (В,А)) и антирефлексивным (ни одна пара (А,А) не входит в КТР). Свойством транзитивности это бинарное отношение, вообще говоря, не обладает (если пары (А,В) и (В,С) входят в него, то пара (А,С) может входить в КТР, а может и не входить).

   Формально присоединим к КТР все пары вида (А,А). Получим рефлексивное симметричное отношение, т.е. толерантность [47]. Будем называть ее "толерантностью расхождений (ТР)".

   Построим новое бинарное отношение Зам(ТР) путем транзитивного замыкания (в смысле теории бинарных отношений [47, с.27]) "толерантности расхождений". Это означает, что подмножество пар объектов, входящих в толерантность ТР, пополняется некоторыми новыми парами. А именно, если А, В и С - три объекта такие, что пара (А,В) и пара (В,С) входят в "толерантность расхождений", то пару (А,С) включаем в замыкание этой толерантности. Для полученного множества пар повторяем описанную операцию. Продолжаем так до тех пор, пока новые пары не перестанут добавляться (процесс не может продолжаться бесконечно, поскольку общее число пар конечно).

   Бинарное отношение Зам(ТР) можно описать и по-другому: пара (А,В) входит в Зам(ТР) тогда и только тогда, когда либо она входит в ТР, либо существует конечная последовательность объектов С, D, E, ..., Q такая, что пары (A,C), (C,D), (D,E), ..., (Q,B) входят в ТР, т.е. от А к В можно пройти за несколько шагов, каждый из которых - переход от первого элемента пары, входящей в ТР, ко второму.

   Последнее замечание подсказывает наглядную геометрическую интерпретацию операции замыкания. Представим себе объекты точками на плоскости. Пара (А,В) входит в ТР тогда и только тогда, когда от А до В можно добраться по дороге. Тогда ясно, что пара (А,С) входит в Зам(ТР) в том и только в том случае, когда от А до С можно добраться по дороге, возможно. через несколько промежуточных пунктов (объектов).

   Описание структуры Зам(ТР) дает следующая теорема.

   Теорема 1. Замыкание "толерантности расхождений" - отношение эквмивалентности (рефлексивное симметричное транзитивное отношение), задающее разбиение объектов на кластеры (группы эквивалентных в рассматриваемом смысле объектов). Кластеры между собой упорядочены: все объекты одного кластера одновременно лучше (или одновременно хуже) всех объектов другого кластера одновременно по обоим используемым агрегированным показателям. Внутри же кластеров, состоящих более чем из одного элемента, имеются противоречия: для какого-то объекта есть другой из того же кластера такой, что упорядочение по одному агрегированному показателю противоречит упорядочению по другому агрегированному показателю.

   Доказательство. Рефлексивность Зам(ТР) вытекает из рефлексивности ТР - поскольку любая пара (А,А) входит в ТР, то она входит и в Зам(Т,Р). Симметричность вытекает из симметричности ТР: если из А в В можно добраться по цепочке С, D, E, ..., Q, то из В в А - по обратной цепочке Q,...,E, D,С, каждые два соседних элемента которой образуют пару, входящую в ТР наряду с "симметричной" парой из прямой цепочки. Транзитивность вытекает из процедуры построения Зам(ТР). В теории бинарных отношений рефлексивное симметричное и транзитивное отношение называется эквивалентностью [47, с.54].

   Известно (теорема 2.1 [47, с.55-56]), что отношение эквивалентности задает разбиение множества объектов на кластеры (классы, группы, подмножества) такое, что пара (А,В) входит в Зам(ТР) тогда и только тогда, когда объекты А и В включены в один и тот же кластер.

   Теперь введем упорядоченность кластеров.

   Лемма. Пусть X = {A, B,...} и Y = {C,D,...} - два кластера. Пусть А меньше С при использовании одного из двух рассматриваемых видов агрегированных оценок (например, по взвешенной медиане или по взвешенному среднему арифметическому). Тогда А меньше С и при сравнении по второй агрегированной оценке. Более того, любой объект из первого кластера меньше любого объекта из второго кластера в смысле любой из двух агрегированных оценок.

   Докажем лемму. Если бы А было больше или равно С по второй оценке, то пара (А,С) входила бы в КТР и ТР, а потому объекты А и С входили бы в один класс разбиения, соответствующего Зам(ТР), что противоречит исходному предположению. Это рассуждение показывает также, что для любых двух объектов В и D из разных кластеров упорядоченности по двум агрегированным оценкам совпадают.

   Однако совпадает ли упорядоченность В и D (или даже В и С) с упорядоченностью А и С ?

   Одну из упорядоченностей обозначим знаком < (т.е. "меньше"; знак > означает здесь "больше или равно"). Может ли быть так, что А<С, но В>С ? Тогда А<С<В. Вторую упорядоченность обозначим знаком //. Тогда в соответствии с рассуждениями предыдущего абзаца А//С//В, следовательно, пара (А,В) не может входить в КТР, а потому и в ТР.

   Поскольку А и В лежат в одном кластере, то существует цепочка А(1)=А, А(2), А(3), ..., А(К) = В такая, что пары (А(Р), А(Р+1)) входят в КТР, Р = 1, 2, 3,..., К-1. Рассмотрим минимальное М такое, что А(М)<С, А(М+1)>С (такое М существует, поскольку А1<С, а АК>С). Тогда в рассуждениях предыдущего абзаца можно положить А=А(М), В=А(М+1). Получаем, что пара (А(М), А(М+1)) не входит в КТР, что противоречит определению Зам(ТР).

   Итак, доказано, что из А<С вытекает В<С для любого В из кластера, включающего А. Аналогичным образом устанавливается, что В<D для любого D из кластера, включающего С. Лемма доказана.

   Каждый из кластеров, порожденных Зам(ТР), может состоять из одного или нескольких элементов. Внутри кластера из одного элемента противоречий быть не может. Если в кластере несколько элементов, то хотя бы одна пара объектов из этого кластера входит в КТР. Однако некоторые пары могут и не содержать противоречий. Например, если упорядочения имеют вид А<В<С иС//А//В, то пары (В,С) и (А,С) входят в КТР, а пара (А,В) - нет. Если же второе упорядочение имеет вид С//В//А, то все три пары входят в квазитолерантность расхождений.

   Теорема 1 доказана.

   В результате описанной в п.2 процедуры получаем ранжировку (упорядоченный ряд), элементами которой являются, вообще говоря, не отдельные объекты, а кластеры, состоящие из некоторого числа объектов (некоторые из кластеров могут состоять из одиночных объектов, для которых не оказалось рассматриваемых выше противоречий). Если построенное согласно п.2 разбиение объектов на кластеры и полученный на его основе ранжировочный ряд удовлетворяет заказчика, то они и определяют итоговую ранжировку и итоговый агрегированный показатель (выражающийся, например, в номере кластера, в который входит рассматриваемый объект, в итоговой ранжировке). Если же нет (например, получился всего один класс), то требуется дополнительный анализ с привлечением экспертов. Он должен быть нацелен на уточнение предпочтений экспертов. Например, им могут быть предъявлены для сравнения пары объектов, входящих в "квазитолерантность расхождений". Это исследование может описаться на различные методики выявления предпочтений (в экономических терминах - функций полезности).

   По ранжировке строится классификация путем разбиения области значений итогового агрегированного показателя на упорядоченные зоны. Границы между зонами задаются с помощью опроса экспертов с учетом процедуры дальнейшего использования этих зон.

    Заметим, что описанная выше методика может применяться в различных вариантах. В облегченном варианте весовые коэффициенты не оцениваются. Например, они априори предполагаются равными или же задаются исследовательской группой, строящей агрегированный показатель.

   Целесообразно [16] численно изучить устойчивость значений агрегированного показателя к малым отклонениям значений весовых коэффициентов, а также ответов экспертов. Развитие этой идеи ведет к разработке методики численного эксперимента, а также к применению и изучению интервальных экспертных оценок, когда ответ эксперта - интервал действительных чисел или интервал в порядковой шкале (несколько соседних градаций), и т.д.

   Могут быть использованы и иные виды средних величин, кроме среднего арифметического и медианы, в частности, среднее геометрическое и другие виды средних по Колмогорову.