С 1973 г. работает неформальный научный коллектив вокруг научного семинара "Математические методы экспертных оценок и нечисловая статистика". Проведена масса исследований, опубликованы десятки монографий и сборников, сотни статей. Направления исследований, связанные с интересами автора, отражены в [1- 4]. Однако не было стимулов стремиться к практическому внедрению теоретических исследований, разрабатывать методики и компьютерные системы.
   В настоящее время ситуация изменилась. Возникла масса аналитических центров, которым разработки нашего научного коллектива явно полезны. Однако важно установить контакты между нами, теоретиками, и менеджерами аналитических центров, наладить систему обучения. Знания должны быть основой для компьютерных систем. Мы разрабатываем Автоматизированное Рабочее Место "Математика для экспертизы" (АРМ МАТЭК).
   Ограничимся одним сюжетом, связанным с ранжировками и рейтингами. В настоящее время распространены экспертные и социологические опросы, в которых опрашиваемых просят выставить баллы идеям, проблемам, программам или политикам, а затем рассчитывают средние баллы и рассматривают их как интегральные оценки, выставленные обществом идеям, проблемам, программам или политикам. Мы уже 20 лет знаем, что такой способ некорректен. Чтобы объяснить, почему это так, необходимо обратиться к теории измерений.

   Сначала эта теория развивалась как теория психологических измерений (см., например, сборник [5]). Первые отечественные работы, появившиеся в начале 70-х годов, привели к расширению области применения: Г.А.Сатаров применял теорию измерений к педагогической квалиметрии, В.Б.Кузьмин - в системных исследованиях, А.И.Орлов - в теории экспертных оценок и для агрегирования показателей качества, Ю.Н.Толстова - в социологических исследованиях, и др.). Перевод книги И.Пфанцагля [6] символизирует окончательное оформление научного направления, отказ от ограничений на области применения.
   В соответствии с теорией измерений при математическом моделировании реального явления или процесса следует прежде всего установить: в каких типах шкал измерены те или иные переменные. Тип шкалы задает группу допустимых преобразований. Укажем основные виды шкал измерения и соответствующие группы допустимых преобразований. В шкале наименований (номинальной) допустимыми являются все взаимно-однозначные преобразования, в порядковой - все строго возрастающие преобразования, в шкале интервалов - линейные возрастающие преобразования, в шкале отношений - подобные (изменяющие только масштаб) преобразования, а для абсолютной шкалы допустимым является только тождественное преобразование.
   Основное требование к алгоритмам анализа данных формулируется в теории измерений так: выводы на основе данных: измеренных в шкале определенного типа, не должны меняться при допустимом преобразовании шкалы измерения этих данных (другими словами, должны быть инвариантны по отношению к допустимым преобразованиям шкалы).
   Применим это требование при выборе вида средней величины.

   Начнем, как и в [1], с примера. Какие профессии предпочитают выпускники школ? В исследованиях В.Н.Шубкина (Новосибирск, 60-е годы) выпускникам предлагалось оценить профессии баллами от 1 до 10. Затем профессии оценивались средними арифметическими баллов, им приписанных. При таком способе сравнения профессий оказалось, что выпускники новосибирских школ предпочитают физику математике. Однако в Ленинграде (по данным Г.И.Щукиной) школьники предпочитают математику, а не физику. В чем причина различий? Возможно, не в объективном различии регионов, а в субъективизме исследователя, выбирающего тот или иной метод анализа данных. Выше уже говорилось об иных социально-политических постановках, в которых возникает аналогичная проблема обоснования выбора вида средней.
   Как сравнивать совокупности? Самое простое - по средним значениям. А как вычислять средние? Известны различные виды средних величин: среднее арифметическое, медиана, мода, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратическое. Обобщением перечиленных является среднее по Колмогорову. Для чисел X1, X2,...,Xn среднее по Колмогорову вычисляется по формуле G{(F(X1)+F(X2)+...F(Xn))/n}, где F - строго монотонная функция, G - функция, обратная к F. Если F(x) = x, то среднее по Колмогорову - это среднее арифметическое, если F(x) = ln x, то среднее геометрическое, если F(x) = 1/x, то среднее гармоническое, и т.д.
   Общее понятие среднего (по Коши) таково: средней величиной является любая функция f(X1, X2,...Xn) такая, что при всех возможных значениях аргументов значение этой функции, не меньше, чем минимальное из чисел X1, X2,...Xn , и не больше, чем максимальное из этих чисел.
   При допустимом преобразовании шкалы значение средней величины, очевидно, меняется. Но выводы о том, для какой совокупности среднее больше, а для какой - меньше, не должны меняться. Сформулируем соответствующую математическую задачу поиска вида средних величин, результат сравнения которых устойчив относительно допустимых преобразований шкалы. Пусть f(X1, X2,...,Xn) - среднее по Коши. Пусть

f(Y1, Y2,...,Yn) < f(Z1, Z2,...,Zn).

   Тогда для устойчивости результата сравнения средних необходимо, чтобы для любого допустимого преобразования g из группы допустимых преобразований было справедливо также неравенство

f(g(Y1), g(Y2),..., g(Yn)) < f (g(Z1), g(Z2),..., g(Zn)),

т.е. среднее преобразованных значений из первой совокупности также было меньше среднего преобразованных значений для второй совокупности. Причем сформулированное условие должно быть верно для любых двух совокупностей Y1, Y2,...,Yn и Z1, Z2,...,Zn. Только такими средними можно пользоваться.
   С помощью развитой нами математической теории удается описать вид допустимых средних в основных шкалах: из всех средних по Коши в порядковой шкале в качестве средних можно использовать только члены вариационного ряда (порядковые статистики), в частности, медиану, но не среднее арифметическое, среднее геометрическое и т.д.; в шкала интервалов из всех средних по Колмогорову можно применять только среднее арифметическое; в шкале отношений из всех средних по Колмогорову устойчивыми относительно сравнения являются только степенные средние и среднее геометрическое). Таким образом, в исследованиях В.Н.Шубкина, как и в большинстве современных расчетов рейтингов, применялся и применяется некорректный способ анализа данных.
   Приведем численный пример, показывающий некорректность использования среднего арифметического f(X1, X2) = (X1+X2)/2 в порядковой шкале. Пусть Y1= 1, Y2 = 11, Z1 = 6, Z2 = 8. Тогда f(Y1, Y2) = 6, что меньше, чем f(Z1, Z2) = 7. Пусть строго возрастающее преобразование g таково, что g(1) = 1, g(6) = 6, g(8) = 8, g (11) = 99. Тогда f(g(Y1), g(Y2)) = 50, что больше, чем f(g(Z1), g(Z2)) = 7. В результате преобразования шкалы упорядоченность средних изменилась.
   В качестве примера применения приведенных выше результатов отметим, что методы расчета рейтингов "ведущих политиков", публикуемые в "Независимой газеты", являются математически некорректными. Впрочем, есть много иных претензий к этим методам. Но все эти претензии меркнут перед фактами откровенной фальсификации результатов социально-политических исследований: примером которой является публикация М.Горшкова в "Независимой газете" от 23.05.96.
   Максимальными инвариантами в порядковой шкале являются ранжировки (нестрогие порядки). Поэтому от теории измерений следует перейти к применению методов статистики объектов нечисловой природы [1-4].

   1. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях.- - М.:Наука, 1979.
   2. Орлов А.И. Задачи оптимизации и нечеткие переменные. - М.: Знание,1980.
   3. Тюрин Ю.Н., Литвак Б.Г., Орлов А.И., Сатаров Г.А., Шмерлинг Д.С. Анализ нечисловой информации.- М.: Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме "Кибернетика", 1981. - 80 с.
   4. Орлов А.И. Статистика объектов нечисловой природы.- Ж-л "Заводская лаборатория", 1990, т.56, No.3, с.76-83, 1995, т.61, No.3, с.43-52, No.5, с.43- 51, 1996, т.62, No.1, с.54-60.
   5. Психологические измерения. - М.: Мир, 1968.
   6. Пфанцагль И. Теория измерений. - М.: Мир, 1976.

Профессор А.И.Орлов

   Более подробное изложение рассмотренных сюжетов дано в статье Орлова А.И. Репрезентативная теория измерений и ее применения / Заводская лаборатория, 1999, т.65, номер 3, с.57-62, с которой Вы можете ознакомиться на сайте проф.А.И.Орлова по адресу http://antorlov.chat.ru/reprteor.htm или его зеркале http://www.newtech.ru/~orlov/reprteor.htm.

*       *       *

   На сайте http://antorlov.chat.ru или его зеркале http://www.newtech.ru/~orlov Вы также можете найти полезные макросы для Microsoft Word 97/2000, могущие помочь Вам в работе, например, макрос для создания книжек размером в половину листа или обьединения множества файлов в один. Также там представлен учебник профессора А.И.Орлова по менеджменту, статьи А.И.Орлова по актуальным вопросам статистики и экономики. Имеется лекция об устройстве ядерных реакторов.
   Страница рассылки - http://antorlov.chat.ru/ivst.htm или http://www.newtech.ru/~orlov/ivst.htm.
   Если Вы живете в Москве, то для доступа к сайту www.newtech.ru/~orlov Вы можете воспользоваться бесплатным демо-доступом компании NewTech. Телефоны: (095)234-94-49, (095)956-37-46. Login: imt или demo. Password: test. Вход под этими логинами абсолютно бесплатный и открыт круглосуточно. Сеанс связи неограничен. Одновременно возможен вход не более 5 пользователей по демо-доступу. Если Вы видите сообщение об отказе в авторизации, значит, Вы - 6-й пользователь, входящий под этим логином, - повторите попытку позже. Доступ с использованием программы Netscape Navigator требует указания DNS: Primary DNS: 212.16.0.1, Secondary DNS: 193.232.112.1. В последнее время увеличилась загрузка бесплатных линий, так что для дозвона рекомендуется использовать какую-нибудь автоматическую программу вроде EDialer.
    На сайте http://karamurza.chat.ru представлена книга видного современного философа и политолога С.Г.Кара-Мурзы "Опять вопросы вождям", которая является глубоким научным исследованием современных проблем западного и российского общества. Данная книга может серьезно повысить образовательный уровень интересующихся политологическими и социологическими проблемами.