Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

Логические задачи на сообразительность

Рассылка закрыта

При закрытии подписчики были переданы в рассылку "Национальная и государственная безопасность" на которую и рекомендуем вам подписаться.

Вы можете найти рассылки сходной тематики в Каталоге рассылок.

←   Январь 2002   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Автор
Игорь Игоревич Хохлов

Статистика

14.961 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

Логические задачи на сообразительность - 31 января 2002 года


Служба Рассылок Subscribe.Ru 
Прошу вас присылать головоломки и задачи. Наиболее интересные появятся
в рассылке вместе с авторской ссылкой. Также можно присылать ответы на задачи.
----------------------------------------------------------

                Здравствуйте!

        Решение олимпиадных задач (прислала Vera Shevchenko)
1. Натуральное число разрешается увеличивать на любое целое число процентов,
не
превосходящее 100, если при этом получается натуральное число. Найти наименьшее
натуральное число, которое нельзя при помощи таких операций получить из единицы.

Решение. 1. число 211.
2=1+100%1(100 % от 1) 3=2+50%2 4=2+100%2
1=25%4, значит из 4 можем получить числа от 4 до 8, с помощью
прибавления целого числа процентов (25, 50, 75)
9=6+50%6, 10=8+25%8
1=10%10, из 10 можем получить числа от 10 до 20
1=5%20, из 20 можем получить числа от 20 до 40
1=4%25, из 25 можем получить числа от 25 до 50
1=2%50, из 50 можем получить числа от 50 до 100
1=1%100, из 100 можем получить числа от 100 до 200
С помощью указанных операций мы получили числа до 200, любое число
больше 200 (М) мы можем получить только из числа больше 100 ( Н1 ) .
Н1>100 1%Н1 больше 1, значит если мы у числа Н1 возьмем целое число
процентов, и оно тоже целое число Н2, то Н1 и Н2 обязаны иметь общий
множитель от 1. Тогда М=Н1+Н2 обязано быть составным. Значит если мы
найдем простое число М>200, его мы не можем получить с помощью данных
операций. Это число 211. Докажем, что оно минимально. Числа от 1 до 200
мы получили. Четные можем получить путем удваивания нужных чисел от
100 до 200. 201 получаем из 150 (3=2%150, 201=150+17*3=150+17*2%150), 203
из 140 (7=5%140, 203=140+9*7, 140+9*5%140), 205 из 125 (5=4%125,
205=125+16*5=125+16*4%125), 207 из 180 (5%180=9, 207=180+3*9=180+3), 209 из
110. Значит 211 минимально.

2. Найти все пары положительных чисел a и b такие, что при любом натуральном
n
выполняется равенство [a[bn]]=n-1.  [] - целая часть

Решение.
(1) a*b=1
(2) a, b иррациональны
(3) a>1
Доказательство:
[a[bn]]=n-1
n-1<= a[bn] <n (*)
[bn]=[b]n+m, где m={0, if 0<={b}<1; 1 if 1<={b}<2;... n-1 if n-1<={b}<n}
подставим в (*):
n-1<=a[b]n+am<n  поделим на n:
(n-1)/n <= a[b]+am/n < 1
1-1/n <= a[b]+am/n < 1 (**)
Если существуют такие a и b, что удовлетворяют данному неравенству, то
выражение a[b]+am/n должно стремиться к 1 (так, как оно "зажато" между
двумя прогрессиями, которые стремятся к 1).
Рассмотрим прогрессию m/n. У нас есть 0<{b}<1, мы каждый раз разделяем
отрезок от 0 до 1 на n частей, и берем ближайшую нижнюю границу к {b},
это и есть m/n. Это похоже на приближения любого числа, с помощью рациональных
чисел снизу. Понятно, что 0=<b}-m/n<=1/n(***)
lim (m/n)={b}
(n->8) lim (a[b]+am/n)=a[b]+a*lim(m/n)=a[b]+a{b}=a*b. И, как мы сказали,
необходимое условие, чтобы a*b=1 (1).
Из (**) следует, что выражение должно быть строго меньше 1, для этого
m/n<{b}, следовательно {b}( а следовательно и b) обязано быть
иррациональным (2).
a[b]+ am/n=a([b]+{b})-a({b}-m/n)(***)>=ab-a*1/n=1-a/n
Для того, чтобы выполнялась левая часть неравенства (**):
1-a/n>1-1-1/n => a<1 (3)
a и b должны выполнять условия:
(1) a*b=1
(2) a, b иррациональны
(3) a>1

3. Известно, что множество S целых чисел содержит 0 и 2002. Кроме того, любой
целый корень любого ненулевого многочлена с коэффициентами из S также
принадлежит S. Докажите, что -2 принадлежит S.

Решение.
  2002X+2002=0 => -1 принадлежит S,
  X-1=0 => 1 принадлежит S
  X+2002=0 => -2002 принадлежит S
Разложим 2002 по двоичной системе 2002=An An-1 An-2  A0, где
An={0,1}  соответствующие коэффициенты, напишем многочлен:
An*X^n +An-1X^n-1+ +A1*X-2002=0, Ak равно 0 или 1, значит принадлежит S.
(Т.к. 2002 четное, A0=0 (!) )
Понятно, что одно из разложений данного многочленабудет 2. =>2 принадлежит S
X+2=0 => -2 принадлежит S.

4. Все грани многогранника - параллелограммы.
1) Может ли он иметь ровно 2002 грани?
2) Тот же вопрос, но многогранник выпуклый.

Решение. 1) Построим многогранник из множества соответствующих параллелепипедов,
в
виде паровозика, один за другим. От первого и последнего будет 5 граней, от
"внутренних" параллелепипедов 4.
2002-5-5=1992, 1992/4=498. Можно построить подходящий многогранник из 500
параллелепипедов.
2) Больше 6 граней там не будет. Т.к. если мы начнем строить многогранник,
после того, как построим параллелепипед, добавляем еще грань, но у
параллелограмма один угол тупой - выгнутый многогранник. Если же нет тупых
углов, то прямые углы, тогда мы просто удлиняем грани.


5. Дан тетраэдр (не обязательно правильный), все грани которого равновелики
между собой. Докажите, что центры вписанного и описанного шаров этого тетраэдра
совпадают.

Решение. Возьмем две любые грани, опустим на общее ребро высоты этих
треугольников, понятно, что они равны (S=1/2*a*H, площади равны,
сторона-ребро общее). Аналогично доказываем, что все грани треугольников
имеют одинаковые тройки высот. Опять возьмем две любые грани. В этих
треугольниках есть общая сторона, и высоты прилегающие к ней попарно
равны. Отсюда треугольники равны. Аналогично доказываем равенство всех
треугольников. Понятно, что 4 радиуса описанных окружностей граней равны.
Если есть тетраэдр ABCD, O - центр описанной сферы, опустим из О
перпендикуляры на все грани. Получим точки О1, О2, О3, О4 - понятно,
что это центры описанной окружности. Рассмотрим треугольники ОО1А, ОО2B,
ОО3C, ОО4D. В них катеты О1А=О2B=О3C=О4D=R1 (радиусы описанной окружности
треугольников) гипотенузы ОА=ОB=ОC=ОD=R (радиус описанной сферы). По катету и
гипотенузе они равны. Отсюда ОО1=ОО2=ОО3=ОО4(=r), т.е. все 4
перпендикуляра на грани равны, значит О - радиус вписанной окружности, r-
радиус.


                Новые задачи
Недавно мне прислали психологическую игру. Хотелось бы выяснить ваше отношение
к ней и как она работает.

                     ЧИТАЙТЕ  ВНИМАТЕЛЬНО!!!!
      Главное правило - не читайте все сразу! Читайте по строчке и не дальше.
Интересная штука. Странно, но она работает. СТРОГО выполняйте все пункты.
Но не жульничайте! Эта игра имеет смешной/издевательский характер.
Сначала найдите ручку и бумагу. Когда вы будете писать имена, выбирайте их так,
чтобы это были имена тех людей, которых вы знаете, а также  повинуйтесь своему
первому  инстинкту.
      Прокручивайте вниз по строчке - не читайте все подряд без остановки,
а не то вы обломаете себе весь кайф, понятно?
Прокручивайте текст ниже по строчке, и шаг за шагом выполняйте задание.
1.(Сначала напишите в столбик числа от 1 до 11.)
2.(Потом, напротив 1 и 2 напишите любые два числа.)
3.(Напротив 3 и 7 напишите имена противоположного вам пола)
(не смотрите дальше, если вы не дописали, а то все будет не верно)
4.(Напишите любые имена (например, друзей или членов семьи) в  4, 5 и 6-ом  номере.)
5.(Напишите четыре названия песен в 8,9,10 и 11.)
6.(И, наконец, загадайте желание)
А теперь ключ для игры...
 Вы должны рассказать об этой игре  стольким людям, какое число вы написали
рядом с номером 2
 Человек под номером 3 - это тот, кого вы любите
 Человек под номером 7 - это тот который вам нравится, но к которому вы не можете
подъехать (вольный перевод)
 Больше всего вы заботитесь о человеке под  номером 4
 Человек под номером 5 знает вас очень хорошо
 Человек под номером 6 - это ваша "звезда удачи"
 Песня номер 8 ассоциируется с человеком под номером 3
 Песня номер 9 - песня, которая относится к  человеку  под  номером 7
 Десятый пункт - это песня, которая говорит о ваших мыслях, о вас самих
 И 11 песня показывает ваше отношение к жизни
* Что значит число под номером один никто не знает, но что-то  оно для Вас значит,
раз Вы его написали.


Спасибо всем авторам и читателям, которые присылают свои предложения,
задачи и ответы для рассылки!


На сегодня это все,
Евгений (logicpuzzles@pochtamt.ru)
"МАГ" - математическая гимнастика (http://mat-game.narod.ru)
http://subscribe.ru/
E-mail: ask@subscribe.ru 		Отписаться
Убрать рекламу
В избранное